重積分する（積分計算編）
こんにちは。パッパギーです。
この記事は前回の記事の続きです。まだ読んでない方は先に読んでね。
この問題を解いていました。
上の記事では、ごっつい形の積分領域をなんとかしました。こんな風に。
準備が整ったので、いよいよ積分します。
「積分する」といっても、2変数の場合ではどうするかというと、
①積分領域
③dxdy
④シコシコ計算する
という手順を踏んでいきます。
①は前の記事で終わりました。
②から始めていきましょう。
(x,y)を(r,θ)で書き換えました。
あとはこれを用いて(x-1)yをいじればいいですね。
次に③dxdyについて。
ヤコビアンを用いるとdrdθに書き換えられます。
どうしてこうなるかというと…
わたしは数学徒ではないので厳密には説明できません。
気になる方はググるなり解析概論を読むなりしてください。
では、ヤコビアンを求めましょう。
θが消えて、シンプルな形になりました。
いよいよ積分計算です。
先に第二項を計算しましょう。
※ ✖ D''
〇 D'''
積分の順序の入れ替えがどうのとか、細かいことは気にしてはいけません。わたしは数学者ではないので。
αをθで表しましょう。
なんかえぐい形になりましたね。これは黄金比Φを代入した時に大変そうだ。
※1と※2はこういう風に計算しました。1行目はΦ^2=Φ+1の誤りです。
次に第1項です。
まずは被積分関数であるxyを計算しましょう。
訳あって2倍角の公式を使ってまとめました。
では積分しましょう。
θで積分する幅がπなので、sin2θとcos2θの項は消えると予想できたわけです。
最後に、黄金比Φを代入して整理しましょう。
まずは第二項。
二重根号が外れませんでした、、、
次に第一項。こっちはあっさり。
お疲れさまでした。いやあ大変だった。
